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大家好
这里是最佳拍档
我是大飞
一九七五年
在澳大利亚阿德莱德的一个普通社区诞生了这样一个男孩
他三岁半开始自学算术
七岁完成微积分课程
八岁参加sat 数学考试
拿到了七百六十分
这个被称为数学神童的孩子就是后来的菲尔兹奖得主陶哲轩
当他在二十四岁成为加州大学洛杉矶分校历史上最年轻的正教授时
人们惊叹于他对于数学领域的全域掌控能力
从调和分析到数论
从片微分方程到组合数学
六月十五日
知名博客主持人lex
Freedoman 对陶哲轩进行了一场长达三个多小时的访谈
在对话中
陶哲轩深入探讨了三个核心的命题
包括那些困扰人类百年的数学难题究竟难在何处
当ai 开始辅助定理证明
传统的数学研究范式正在发生怎样的变革
以及在算法日益精进的时代
人类数学家的独特价值又该如何定义呢
今天呢
大飞就来试给大家梳理一下这场对话的核心内容
看看在这位号称数学界莫扎特的天才眼中
人类数学和ai 的未来将会如何发展
这场对话的起点
还要从那个让陶哲轩在博士阶段辗转反侧的针尖转向问题说起
一九一八年
日本数学家挂骨中医提出了一个看似很简单的几何问题
那就是在平面上一根长度为一的针做一百八十度转向时
所扫过的最小面积是多少
传统的几何学家们设想了一个三点转向法
针先绕一端旋转六十度
再绕另一端旋转六十度
从而形成一个等边三角形
而实际的面积为八分之派
但是这个答案在一九二八年被苏联数学家阿布拉姆
别西科维奇所颠覆
他证明了通过构造无限多端的锯齿形路径
转向面积可以趋近于零
而陶哲轩在一九九零年代研究这个问题时
并没有局限于二维平面
而是将目光投向了三维空间
如果真具有厚度delta
比如说好像现实中的一台望远镜设备
那么最小的转向体积该如何计算呢
他发现当delta 趋近于零的时候
体积衰减速率大约会与耳塔的对数相关
这个发现呢
看似局限在几何领域
却意外的与流体力学中的起点形成产生了联系
在流体力学中
有一个著名的纳威斯托克斯方程
这是一个描述流体运动的偏微分方程组
包含了速度场
压力场和粘性力等多个物理量之间的复杂交互
它的核心问题是
对于给定的光滑初始条件
是否会在有限的时间内产生奇点
也就是速度或者压力趋近于无穷大的点
从而引发爆破blow up 现象呢
陶哲轩指出
这个问题之所以极端困难
源自于它的超临界特性
在流体系统中
存在着两种相互竞争的力量
一种呢
是让系统趋于平稳的粘性耗散
另一种呢
是驱动能量运输的非线性效应
在超临界的状态下
当尺度越来越小的时候
非线性效应会压倒性的战胜粘性效应
它将这个过程比作是克斯韦幺的杰作
克斯mamav 幺指的是理论上有一个微观的妖精
可以巧妙的操纵能量
将它不断的推向更小的尺度
从而形成一个自相似的能量汇聚链条
最终呢
在有限的时间内形成起点
因此呢
这个问题也被列为千禧年七大数学难题之一
悬赏高达一百万美元
二零一六年
陶哲轩在数学物理通讯发表的论文中
通过构造了一个平均化的三维纳维斯托克斯方程
首次严格证明了在特定的初始条件下
能量会在有限的时间内集中到非常小的尺度上引发爆破
他的灵感来自于妻子的电路设计图
那些由电阻电容构成的分层能量耗散结构
让他联想到流体能量在不同尺度之间的传递机制
就像工程师设计电路的时候需要考虑信号延迟一样
陶哲轩在方程中引入了能量传输的时间滞后
证明了当粘性耗散无法及时平衡能量的集中时
就会形成类似于流体计算机的自相似坍缩
在他的设想中
驱动计算的单元不再是电子
而是一股股以特定速率流动的水流
脉冲水流的不同形态可以代表二进制的零和一
通过设递出特定的流体交互
完全可以实现语门和或门等逻辑运算
再将这些逻辑门串联
理论上可以构建出一个完全由水构成的计算机
甚至是创造出一个流体版的冯诺依曼机
也就是一个能够利用流体资源进行自我复制的机器人
这个流体机器人唯一的目标就是创造一个比自己更小的处于冷启动状态的复制品
一旦完成
它就会将自身的全部能量转移给这个复制品
然后自身断电并且消散
这个全新的更小更快的机器人将自行启动
并且以指数级的速度重复这个过程
从理论上来讲
这个无限迭代的自我复制过程
就可以在真实的纳维斯托克斯方程中制造出一个爆破
陶哲轩关于流体计算机的构想核心在于复杂的计算能力可以从简单的底层规则中涌现
这个思想在数字世界中其实有着一个强大而且经典的印证
那就是约翰
康威的生命游戏
陶哲轩明确的表示
他对于原胞自动机的了解深刻的影响了他对复杂系统行为的思考
并且为理解人工智能系统的内在逻辑提供了关键的类比
生命游戏是一个由极简规则驱动的二维数字宇宙
它的演化模式有时候看起来极为混乱
酷似流体湍流
然而陶哲轩指出
研究者们在这个极简系统中发现了令人惊叹的具有高度组织性的结构
比方说
他们发现了滑翔者一种能够稳定向特定方向移动的微小模式
这非常类似于陶哲轩在流体力学中思考的倭环
更加令人惊叹的是
通过对这些基本模式的巧妙组合
人们最终在生命游戏里构建出了更高级的计算组件
设计出了能够持续发射滑翔者的滑翔者枪
能够实现宇门和货门等逻辑运算的复杂结构
乃至一个庞大的能够实现自我复制的冯诺依曼机
然而
无论是设想中的流体计算机
还是生命游戏中的复杂机器
他们的涌现都有一个至关重要的共同前提
那就是需要非常精心准备的初始条件
他强调
这些复杂的结构必须通过工程的手段
以一种非常特殊的方式精心设计才能够构建出来
陶哲轩还讲到了自己研究波映射方程的经历
波映射方程描述的是从一个时空区域到另一个流半流形映射的波动行为的方程
他在广义相对论
几何分析等领域有着重要的应用
陶哲轩在澳大利亚探亲期间
经常会在海滩上观察海浪撞击礁石时的波形变化
他发现当水波在遇到障碍物或者进入不同深度的水域时
会发生折射
反射和变形等复杂的现象
在这些物理现象的启发下
陶哲轩提出了一种名为规范变换的方法
就像给波动安装了一个可调节的坐标系
通过局部旋转向量场的视角
将高度非线性的问题转化为了近似线性的形式
最终证明了临界波映射的全局正则性
在这个过程中
他甚至躺在地板上想下自己变成了一个矢量场四处滚动
试图弄清楚如何改变坐标
让各个方向的物体都能够以合理的线性方式去运动
随后
对话转向了ai 在数学研究领域的直接应用
陶哲轩系统性的评估了ai 当前的潜力
并且明确指出了ai 与顶尖人类智能之间目前难以逾越的一个本质鸿沟
那就是他称之为数学层觉的缺失
他认为人与ai 在研究层面的合作已经出现端倪
并且给出了一个具体的预测
到二零二六年
就会出现人与ai 合作的数学研究成果
或许还达不到菲尔兹奖的级别
但会是真正研究层面的数学论文
其中的部分内容是由ai 来生成的
他本人呢
也经常使用代码补全等ai 工具来加速研究的工作
并且呢
把ai 看作是出色的计算助手
然而当被问到ai 能否独立完成菲尔兹奖级别的类似于格里格里
佩雷尔曼解决庞加莱猜想那样的思想突破时
他的回答是清晰而否定的
他详细解释了佩雷尔曼的工作核心在于引入里气流
并且发展出佩雷尔曼商等全新的概念
将一个棘手的超临界问题转化为一个可控的临界问题
并且最终对所有可能出现的起点进行分类和手术
这个过程是长达数年基于深刻物理直觉的探索
是一条需要巨大毅力才能够走通的前无古人的道路
陶哲轩对此断言
这完全不是今天的transformer 架构的ai 或者是大元模型所能够做到的
它进一步剖析了背后的原因
一个ai 或许能够在庞大的可能性空间中碰巧能够生成佩雷尔曼用到的某个公式或者是概念
但是它无法像佩雷尔曼那样凭借一种深刻的直觉坚信这是唯一正确的方向
并且为之投入数年的光阴
Ai 可以生成选项
但是无法进行战略性的
具有长远信念的抉择
不过陶哲轩也指出
大元模型生成的数学内容最令人头疼的地方在于
他们常常看起来完美无瑕
语法正确
逻辑链条完整
但是内部却可能包含任何一个受过训练的人都不会犯的荒谬的低级错误
他将这种现象与编程行业中的术语code smell 进行类比
一个有经验的程序员能够凭借着直觉闻到一段代码中存在的问题
同样
顶尖的数学家对于一个证明策略
一个研究方向的好坏也有一种直觉性的判断力
这就是所谓的数学嗅觉
而ai 生成的文本
由于它的训练目标是模仿正确的文本样式
所以常常是没有气味的
这就使得发现其中的深层逻辑谬误变得异常的困难
所以陶哲勋认为
一个顶尖数学家的工作远不只是执行计算和逻辑推演
更重要的是对研究方向的战略判断
哪个问题值得投入精力
哪条证明路径更有前景
哪种问题的分解方式是化繁为简而非化简为繁
它将这种能力与阿尔法go 在围棋领域的成功进行对比
阿尔法go 之所以能够战胜人类
并非只是因为它算得更远
而是因为它通过海量的学习发展出了对棋局优劣的嗅觉
陶哲轩预言
只有当ai 也获得了对证明策略可行性的嗅觉时
他们才可能开始与人类水平的数学家一较高下
在此之前
一个理想的ai 助手应该扮演什么样的角色呢
陶哲轩认为我们正在进入一个全新的范式
面对的是一个能够理解复杂指令
可以进行大规模工作
但是同时并不可靠的助手
这意味着人机协作的模式并非简单的任务分配
而是一个动态的
需要人类扮演最终战略决策者和嗅觉验证者的过程
人类的职责是提出深刻的问题
设定正确的方向
并且利用自己深厚的嗅觉来审视和引导ai 强大的但是可能盲目的计算和生成能力
在被问到近年来积极投身到的形式化证明领域
陶哲轩坦言
他投身这一领域是源于对于传统研究方式低效的切身感受
他看到数学家们花费大量的时间进行重复性的计算
或者在不熟悉的领域摸索
这促使他不断探索新的工作流程
几年前
他就敏锐的捕捉到了计算机辅助证明的潜力
并且组织相关的研讨会
当拆的gbt 引爆了ai 浪潮之后
他进一步意识到自己不能只是停留在口头上倡导
必须亲身实践
用行动来证明这个方向的价值
正如他所说
我不能够仅仅凭借自己作为世界知名数学家的权威
却告诉大家相信我
这将改变数学
而自己却不投身其中
而他所引领的这场变革
核心在于用计算机可以完全理解和验证的代码来重写数学
像in 这样的形式化证明语言
让数学定理不再仅仅是人类头脑中的抽象概念和纸上的符号
而变成了可以被机器严格审查
精确无误的数字化对象
陶哲轩解释道
这从根本上解决了一个困扰大规模数学协作的瓶颈
那就是信任
通过利用计算机的证明检查器来确保过程中的每一步都精确无误
从而让证明的所有部分都能够兼容并且高度可靠
在这种新的范式下
一个宏大复杂的证明可以被分解成数千个独立的
标准化的
可以被验证的节点或者是引领
这就像是一张详尽的蓝图
贡献者们不需要通晓整个证明的全貌
只需要领取并且攻克自己负责的那个小模块即可
这种模式彻底改变了数学研究的生产关系
让他从一门以孤胆英雄为主的学科
演变为了像现代工业供应链那样可以进行大规模分布式可信协作的工程
为了检验这个模式的威力
陶哲轩还与合作者们发起了一个名为等式理论项目的宏大计划
这个项目的目的是完整描绘抽象代数领域中大约四千条定律之间的相互推导关系
从而构成了大约两千两百万个需要被证明或者证伪的子问题
在过去呢
仅靠人类处理十几个类似的问题就已经是极限了
但是在in 和giay
Ub 等协助平台的加持下
这个看似不可能的任务吸引了全球大约五十位数学家和程序员的参与
在访谈中
陶哲轩透露这个庞大的项目已经接近尾声
即将阐述一篇有五十位作者署名的论文
这在传统数学领域是极其罕见的
这次经历呢
也让他深刻反思了科研协作模式的演进
他回忆起十几年前参与的早期的众包项目polymaas
虽然这个项目的理念很先进
但是因为缺乏令这样的自动验证工具
所有贡献都需要核心成员的人工审核
导致效率受限于巨大的瓶颈
当时团队采用了共同笔名的方式发表成果
却也带来了署名权不清
功劳归属模糊等等问题
而在新的等式理论项目中
他们采用了更精细的贡献归属机制
所有的参与者都是正式作者
并且通过一个详尽的贡献矩阵来声明各自在概念构思
编程实现
结果验证等方面的具体工作
当ai 拥有了形式化数学库和强大的计算能力之后
它能否攻克那些困扰人类数百年
似乎需要全新概念才能够突破的终极难题
比如说孪生素数猜想和黎曼猜想呢
以孪生素数猜想为例
如果说素数是数学的原子
而孪生素数
比如说三和五
十一和十三则是其中的双胞胎
这个猜想认为存在着无穷多对相差二的素数
也是数论中最古老的未解之谜之一
二零一三年
张义堂证明了存在无穷多对相差不超过七千万的速数
将问题推进了一大步
陶哲轩随后发起的polymas 项目通过全球数学家的协作
将这个差距缩小到了二百四十六
但是他也清醒的认识到
真正证明差为二
还需要突破奇偶性壁垒
这是一个类似于量子物理学中的对称性破缺的数学障碍
要想突破这个障碍
需要的不仅仅是更强的算力
而是一个全新的可能来自于完全不同领域的革命性思想
或许可以通过强化学习将现有的方法运用到极致
但是他能否发明出一种能够绕过奇偶性障碍的全新的数学思想呢
陶哲轩对此持有开放但是审慎的态度
他指出
对于孪生素数猜想
我们很大程度上仍然处于在黑暗中摸索的阶段
缺乏像彭加莱猜想那样一个由哈密尔顿提出的明确的里气流攻击方案
而对于另一个更著名的难题黎曼猜想
这个猜想本质上是说
素数的分布在刨除掉一些已知的局部规律之后
会表现的和你所期望的一样随机
陶哲轩解释道
证明这一点极其困难
因为数学中我们恰恰缺乏有效的工具却证明某个具体事物真正具有随机性
任何可行的证明都必须极其的精确
巧妙的避开所有已知的陷阱
不能有巨大的误差容忍度
他认为用来解决黎曼猜想的工具很可能与解决孪生素数猜想的工具截然不同
当被问到黎曼猜想是否会在我们有生之年被解决的的时候
他坦率的表示
如果非要下注的话
他会赌不会
但是他真心希望自己会输掉这个赌局
此外呢
陶哲轩还提到了其他几个尚未被解决的数学猜想
首先呢
便是克拉茨猜想
一九三七年
德国数学家洛塔尔
克拉茨提出了一个看上去好像孩童游戏的问题
给出一个任意的正整数
如果为偶数则除以二
如果为奇数则乘以三
加一重复操作
是否最终都会到达一呢
这个问题的魅力就在于它的简单性
任何一个小学生都能够理解它的规则
却让最顶尖的数学家束手无策
陶哲轩在二零一九年的突破在于证明了对于几乎所有的正整数
迭代序列会在有限部内降到一千以下
但是他也坦言
我们距离真正的证明还差得很远
就像在大海中看到了一座岛屿
却找不到登陆的地方
这个问题的深层意义在于揭示了简单规则与复杂动态的矛盾
就像气象学家爱德华
洛伦兹发现的蝴蝶效应一样
克拉茨序列中看似随机的波动
可能隐藏着尚未被发现的数学结构
陶哲轩甚至开玩笑的说道
如果我被外星人绑架
他们要求用一个数学问题证明人类值得存活
那么我会选克拉茨猜想
因为它足够简单又足够深刻
其次呢
在计算机科学的神殿中
P 等于np 问题占据着至高无上的地位
是否存在一种算法能够在多项式的时间内解决所有可验证的问题呢
如果p 等于np 成立
那么密码
蛋白质折叠等等难题将迎刃而解
但是同时也意味着所有智力劳动都可以被算法替代
陶哲轩对此的观点是谨慎的
虽然目前所有的证据都指向p 不等于np
但是仍然缺乏数学工具来证明这一点
这就像是在量子力学中
我们虽然知道玻璃二项性的存在
却无法用经典的语言来完全的描述它
他参与的算法复杂性与数学证明项目
正是试图通过分析定理证明的计算复杂度来找到p 与np 之间的本质差异
比方说
证明一个数学定理可能需要指数级的尝试
而验证证明只需要多项式的时间
这种不对称性可能是自然界的基本规律
正如他在斯坦福大学的讲座中所说的
如果p 等于np
那么数学创造将失去意义
但是好在宇宙似乎更偏爱人类的创造力
在访谈中
陶哲轩与freedoman 有几段关于数学家的精彩描述
让我们更加能够了解他们神秘的生活和精神状态
首先是格里格里
佩雷尔曼
二零零六年
当他拒绝了菲尔兹奖和克莱研究所的百万奖金
选择在圣彼得堡的森林中采集蘑菇的时候
整个数学界为之震动
他对彭加莱猜想的证明耗时七年闭门研究
完全依赖传统的纸笔演算
甚至拒绝使用电子邮件
这种极端的孤独主义与陶哲轩的开放协作形成了鲜明的对比
陶哲轩对佩雷尔曼的选择表示了理解
他说
每个数学家都有自己的认知节奏
佩雷尔曼就像是一个洞穴画家
需要完全沉浸在自己的思维世界中
才能够捕捉到四维空间的几何轮廓
而我更像是一个城市规划师
喜欢在不同的数学街区之间搭建桥梁
这种多样性恰恰是数学进步的动力
就好像有人负责凿开坚硬的理论岩层
有人负责铺设连通的知识道路
其次呢
安德鲁
怀尔斯证明费马大定理的故事也是现代数学史上最具有戏剧性的篇章
他在阁楼中独自工作了七年
几乎耗尽了所有已知的数论工具
最终在严则理论与模型社之间建立了前所未有的联系
当陶哲轩在普林斯顿见到这位前辈的时候
注意到他的草稿纸上密密麻麻的计算痕迹
那些被划掉的公式
重新开始的推导
揭示了这项突破背后的艰辛
陶哲轩说
怀尔斯的证明告诉我们
有些数学高峰是需要一代人的专注才能够攀登的
但是现在的情况不同了
我们有了in 这样的登山装备
有了全球协作的登山队
这并不是要否定个人英雄主义
而是要让更多的人能够参与到这场永无止境的攀登中来
其实陶哲轩自己的研究风格也深受多元背景的影响
他的父亲是儿科医生
母亲是物理教师
妻子是电气工程师
这种跨学科的家庭环境让他自然的将不同领域的思维模型相互的迁移
比方说
他从妻子设计的集成电路中获得灵感
在纳维斯托克斯方程中构造能量隔离层
还从父亲诊断病人的过程中学会了将复杂问题分解为可验证的子假设
在加州大学洛杉矶分校的办公室里
他的黑板上经常同时写着偏微分方程和机器学习的公式
这种看似混乱的思维碰撞
实际上则是在刻意培养的认知流动性
正如他在跨界思维与数学创新一文中所说的
当我们用流体力学的眼光来看数论
用算法设计的思维来解几何
数学的边界就会向融化的冰淇淋展现出全新的形态
在ai 技术浪潮席卷全球的背景下
关于人类何去何从的讨论不绝于耳
陶哲轩对此也有着自己深刻的思考
他首先强调
我们正在从个体英雄主义时代步入一个更加依赖于集体智慧的时代
他以数学问答网站nas overflow 为例
这个线上社区常常能够对极其艰深的问题给出惊人
迅速而且高质量的解答
他评价到
当基础设施和文化环境都健康的时候
人类作为一个共同体所能够达到的智慧
成熟和理性可以远超所有个体成员的总和
作为一个整体的数学界
它就是一个令人难以置信的超级智能实体
这种集体智慧的涌现
正是它对人类文明未来抱有希望的核心原因之一
这为我们思考未来的ai 系统也提供了新的视角
强大的智能或许并不是体现在单一的无所不能的超级ai 上
而是在于由无数ai agent 和人类专家组成的
能够高效协作的类似于蜂群一样的混合智能系统
面对这样一个充满了不确定性与巨大机遇的未来
年轻人应该如何装备自己呢
陶哲轩给出了自己的建议
那就是专注在培养可迁移的核心技能上
他警告说
学习某一项特定的编程语言或者是数学分支
价值会随着工具的更新换代而衰减
真正恒久不变的
而且在人机协作中不可替代的是那些更根本的能力
比如说运用抽象概念进行推理的能力
以及在面对全新未知问题时的解决能力
这些更底层的能力是人类心智的基石
无论未来的ai 工具变得多么强大
它们始终是驱动创新和解决复杂问题的核心
他还对标准化教育提出了批评
直言道
进化并没有直接赋予人类大脑一个所谓的数学中心
但是由于大脑的其他中枢足够的精密
以至于不同的人可以调用大脑的不同区域来处理数学
比如说有些人偏好视觉化思维
有些人则偏好符号化和语言化思维
但是标准化的教育模式可能会因为无法匹配个体的天生认知风格而过早的扼杀掉许多人对于数学的兴趣
在采访的最后
当被问到数学是人类的发明还是发现的时候
陶哲轩陷入了长时间的思考
最终回答道
他倾向于认为数学真理是客观存在的
就像等待被发掘的古代文明
但是我们用来描述这些真理的语言和工具无疑是人类的发明
Ai 的出现让我们拥有了更强大的古古工具
但是挖掘的方向
解读的意义仍然掌握在人类的手中
这似乎也在呼应哥德尔不完备定理的启示
数学永远存在无法被现有体系证明的真理
而人类的使命就是不断扩展这个体系的边界
回到故事的起点
那个在澳大利亚地板上推演向量场的少年
如今已经成为了数学宇宙的领航者
他的经历告诉我们
数学的魅力既在于黎曼假设的深邃神秘
也在于挂谷问题的巧妙构造
既需要佩雷尔曼的孤独坚守
既需要帕雷曼斯项目的集体智慧
也许
当陶哲轩在令中输入最后一行的验证代码
当阿尔法proof 在屏幕上生成新的证明路径
我们不是见证人类的退场
而是目睹一场更伟大的时代拉开序幕
在这个时代
人类的智慧与算法的力量相互赋能
共同来书写宇宙最深刻的奥秘
好了
以上就是陶哲轩这次访谈的主要内容了
建议大家有时间去看原视频
感谢收看本期节目
我们下期再见
